聚类分析方法
聚类分析法，应用于地下水，是在各种指标和质量等级标准的约束下，通过对样品各种指标的监测值进行综合聚类，来判断地下水的质量等级。常见的聚类分析方法有系统聚类、模糊聚类和灰色聚类。
(一)系统聚类法
系统聚类法的主要步骤是数据标准化、相似性统计计算和聚类。
1.数据标准化
在聚类分析中，聚类元素的选择非常重要，它直接影响分类结果的准确性和可靠性。在地下水质量研究中，聚类对象往往由多种元素组成。不同元素的数据可能差异很大，会对分类结果产生影响。因此，当分类元素的对象确定后，在进行聚类分析之前，应该先对聚类元素的数据进行标准化处理。
假设将考虑的水质分析点(g)作为聚类对象(有m个)，用I表示(I = 1，2，...，m)；将影响水质的主要因子作为聚类指标(有n个)，用j (j = 1，2，…，n)表示，其对应的因子数据可在表4-3中给出。在聚类分析中，对聚类元素的数据进行标准化的方法有很多，一般采用标准差法和极差法。
表4-3集群对象和元素数据
标准化第j个变量就是把xij转化成x'ij。
(1)求和标准化
区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究
通过这种标准化方法获得的新数据x'ij满足以下要求。
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(2)标准差标准化
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哪里:；
用这种标准化方法得到的新数据x'ij，每个元素的平均值为0，标准差为1，即有
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(3)靶场标准化
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这样标准化得到的新数据，每个元素的最大值为1，最小值为0，其余值都在[0，1]的闭合区间内。
上式中:xij为j变量的测量值；Xj是J变量的样本平均值；Sj是样本的标准差。
2.相似性统计
系统聚类方法需要一个能够反映样本间相似性的数值指标，需要找到能量相似性的统计量，这是系统聚类方法的关键。
相似性统计量一般用距离系数和相似系数来计算。距离系数将样本视为多维空间中的一个点，用点与点之间的距离来表示研究对象的密切关系。距离越小，关系越近。相似系数的值表示样本和变量之间的相似性。
(1)距离系数
经常使用欧几里德绝对距离，其中I样本和J样本之间的距离dij是
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dij越小，I和J样本越相似。
(2)相似系数
常见的相似系数有夹角余弦和相关系数，计算公式为
1)夹角的余弦
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在公式(4-20)中:-1≤cosθij≤1。
2)相关系数
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其中dij是I样本和J样本之间的欧几里德距离；Cosθij是I样本和J样本的相似系数；Rij是I样本和J样本之间的相关系数；Xik是第I个样本的第k个因子的测量值或标准化值；Xjk是第J个样本的第k个因子的测量值或标准化值；是第I个样本第k个因子的平均值，；是第J个样本的第k个因子的平均值，；n是样本数；k是因子(变量)的数量。
3.使聚集
相似度统计量选定后，根据计算结果构造距离或相似系数矩阵(n×n)，然后通过一定的方法将N个样本组合成不同的分类单元，进行类的组合，即最相似的样本归为一组，再将次相似的样本归为分类级别较高的组。聚类主要有直接聚类法和距离聚类法(最短距离聚类法和最远距离聚类法)。
(1)直接聚类法
直接聚类法是一种简单的聚类方法，它是基于距离或相似系数矩阵的结构一次性得到结果。它首先将每个分类对象单独作为一个类，然后按照距离最小或相似系数最大的原则依次选择一对分类对象，形成一个新的类。如果一对分类对象碰巧属于两个类别，则这两个类别合并为一个类别。每次合并时，都会删除与对象列顺序相同的行。n-1次后，将所有分类对象归为一类，最后按照归并顺序做出聚类分析谱系图。
(2)距离聚类法
距离聚类法包括最短距离聚类法和最远距离聚类法。最短距离聚类法具有空间可压缩性，而最远距离聚类法具有空间可扩展性。这两种聚类方法对类间距离的计算可以用一个统一的公式表示:
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当γ=-0.5时，公式(4-22)中计算类之间的距离最短；当γ=0.5时，方程(4-22)中计算类之间的距离最远。
最短最远距离法是从原n×n距离矩阵的非对角元素中找出dpq=min(dij)或dpq=max(dij)，将分类对象Gp和Gq合并成一个新的类Gr，然后根据计算公式:
dpq=min(dpk，dqk)(k≠ p，q) (4-23)
dpq=max(dpk，dqk)(k≠ p，q) (4-24)
计算原类和新类之间的距离，从而得到一个新的距离矩阵的阶(n-1)；然后从新的距离矩阵中选择最小或最大的dij，Gi和Gj合并成一个新的类。然后计算每个类与新类之间的距离，直到每个子类对象被归为一类。最后整合整个聚类过程，做出最短距离或最远距离聚类谱系图(图4-1)。
图4-1地下水质量评价聚类谱系图
(二)模糊聚类法
模糊聚类方法是普通聚类方法的扩展，是在聚类方法中引入模糊概念而形成的。该方法评价地下水质量的主要步骤包括数据标准化、校正和聚类(傅等，1987)。
1.数据标准化
在聚类的过程中，由于所研究变量的绝对值不同，直接用原始数据进行计算会突出绝对值大的变量，降低绝对值小的变量的作用。特别是在模糊聚类分析中，模糊运算要求数据必须压缩在[0，1]之间。因此，模糊聚类计算的首要任务是解决数据标准化问题。数据标准化的方法见系统聚类分析。
2.校准和聚类
所谓校准，就是计算被分类对象之间的相似系数rij，从而确定论域集合u上的模糊相似关系Rij，相似系数的计算与系统聚类分析相同。
聚类就是给不同的置信度λ (λ ∈ [0，1])在建立的模糊关系矩阵Rij上截取，然后得到不同的分类。
聚类方法有很多种，包括基于模糊等价关系的聚类和基于最大树的聚类。
(1)模糊等价关系法
所谓模糊等价关系是指自反性(rii=1)、对称性(rij=rji)和传递性(R R？r)模糊关系。
基于模糊等价关系的模糊聚类分析方法的基本思想是，由于模糊等价关系R是论域集合U与其自身的直积U×U上的模糊子集，所以R可以分解。当R被λ-level截时，U×U的截普通子集Rλ是U上的普通等价关系，即得到U中的一类分类对象元素。当λ从1减小到0时，得到的分类由细变粗，逐渐合并，形成动态聚类谱系图(徐建华，1994)。这种分析方法的具体步骤如下。
第一步:模糊相似关系的建立，即子对象间相似统计量的计算。
第二步:将模糊相似关系R转换成模糊等价关系R’。模糊等价关系要求自反性、对称性和传递性。一般来说，模糊相似关系满足自反性和对称性，但不满足传递性。因此，有必要利用传递闭包的性质将模糊相似关系转化为模糊等价关系。变换方法是对相似关系R进行平方，即
R2=R R
R4 = R2·R2
这样的计算一直持续到:R2K = RK RK = RK，那么R’= RK就是一个模糊等价关系。
第三步:不同割集层次下的聚类。
(2)最大树聚类方法
基于最大树的模糊聚类分析方法的基本思想是:最大树是没有回路的连通图(图4-2)；选择λ级截取分支，截掉权重低于λ的分支，形成若干个孤立的子树，每个子树就是一个类的集合。这种分析方法的具体步骤如下。
图4-2最大集群生成树图
第一步是计算分类对象之间的模糊相似性统计rij，并构造最大树。
以所有被分类的对象为顶点，当两点之间的rij不等于0时，可以用树干连接两点，这种连接按照rij由大到小的顺序进行，从而形成最大的树。
第二步:最大树聚类分析。
选取某个λ值作为割集，将小于λ值的树的主干剪掉，使连通的节点形成一个类，即子树。当λ从1到0时，得到的分类由细变粗，各节点代表的分类对象逐渐融合，从而形成动态聚类谱系图。
在聚类方法中，模糊聚类方法相对于普通聚类方法有很大的突破，简化了操作过程，使聚类方法更容易掌握。
(3)灰色聚类方法
灰色聚类是根据不同聚类指标的白化数，将聚类对象按若干灰色类进行分类，从而判断聚类对象属于哪一类。
灰色聚类应用于地下水质量评价，以考虑的水质分析点为聚类对象，用I表示(I = 1，2，…，n)；将影响水质的主要因子作为聚类指标，用j表示(j = 1，2，...，m)，并将水质等级作为聚类灰数(灰类)，用k (k = 1，2，3)表示，即第一、二、三灰类(罗定贵等，65433)。
灰色聚类的主要步骤是:确定聚类的白化数，确定每个灰色白化函数fjk，计算标定的聚类权重ηjk，计算聚类系数，根据极大值原理确定聚类对象分类。
1.确定聚类白化数。
当各灰类的白化数相差较大时，为了保证各指标的可比性和等效性，需要对白化数进行无量纲化处理。即给定第I个聚类对象中第j个聚类索引的白化数，I = 1，2，…，n；j=1，2，…，m .
2.确定每个灰度白化函数。
建立效率函数fij(x)，满足所有指标，水平区间为最大白化函数值(等于1)。离这个区间越远，白化函数越小(趋于0)。根据监测值Cki，对应的白化函数值fjk(Cik)，j = 1，2，...，m可以在图上分解出来(图4-3)；k=1，2，3 .
3.找到校准组权重
根据公式(4-25)，计算聚类权重ηjk的矩阵(n×m)。
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其中ηjk是第j个指标对第k个灰类的权重；λjk是增白函数的阈值(取决于标准浓度)。
图4-3增白功能图
注:图4-3中的白化函数f (x) ∈ [0，1]有以下特点:①平顶部分表示这个量的最优程度。这部分的值为最佳值，即系数(权重)为1，f(x)=max=1(峰值)，x ∈ [x2，x3]。②白化函数是单调变化的，左边部分f(x)=L(x)单调增加，x∈(x1，x2]，称为白化左支函数；右边部分f(x)=R(x)，单调递减，x ∈ [x3，x4]，称为白化右支函数。③白化函数的左右分支是对称的。④美白功能，简单来说，一般是直线。⑤一般来说，美白功能的起点和终点是由人的经验决定的。
4.求聚类系数
σik=∑fjk(dij)ηjk (4-26)
其中:σik是第I个聚类对象属于第k个灰类的系数，I = 1，2，…，n；k=1，2，3 .
5.根据最大值原则确定聚类对象的分类。
用σik构造聚类向量矩阵，如果行向量最大，则确定k样本属于J级的对应级别。
用灰色聚类法评价地下水质量，可以最大限度地避免人为因素造成的“失真失效”现象。
聚类法的计算相对复杂，但计算结果与地下水质量标准等级明显对应，可以全面反映地下水质量，也是在更高层次上定量研究地下水质量的重要方法。